ジェームズ・スターリングの主な業績
18世紀スコットランドの数学者ジェームズ・スターリング(James Stirling)は、階乗の近似や組合せ論の分野において、今日でも広く使われる重要な成果を数多く残しました。ここでは、彼の名前が冠された代表的な概念を紹介します。
スターリングの近似公式
$$n! \approx \sqrt{2\pi n} \left(\frac{n}{e}\right)^n$$
これは、n が大きいときに階乗 n! の値を高い精度で見積もることができる有名な近似公式です。巨大な階乗の計算が困難だった時代に、解析的に扱う道を開いた画期的な成果でした。
スターリングの定理
$$ \lim\limits_{n \to \infty} \frac{n!}{n^n e^{-n}} = \sqrt{2\pi} $$
この極限は、上記のスターリングの近似公式と本質的に同じ内容を表すものであり、両者は互いに等価な関係にあります。
スターリング数
スターリング数は、集合の分割方法の総数を数えるベル数と密接な関係を持つ数列です。
- 第一種スターリング数: n 個の要素の順列のうち、元の並び順に対して特定の条件を満たす置換(正確には、ちょうど k 個のサイクルに分解される置換)の個数を数えます。
- 第二種スターリング数: n 個の要素からなる集合を、k 個の空でない部分集合に分割する方法の数を符号付きで与えます。
スターリング行列
スターリング行列とは、第 n 次スターリング行列 Sn として知られる n × n の正方行列のことです。その成分 snk は、第二種スターリング数によって与えられます。