結論：そのような紙幣は存在しない
ニューヨーク州は、1776年8月13日をはじめ、歴史上のいかなる時点においても10ドル紙幣を発行したことがありません。つまり、「1776年8月13日発行のニューヨーク州10ドル紙幣」の価値を査定することは、そもそも成立しないのです。
なぜ存在しないのか？歴史的背景
1776年はアメリカ独立戦争の真っ只中であり、同年7月4日に独立宣言が発表されたばかりの時期でした。当時流通していた紙幣の多くは、大陸会議（Continental Congress）が発行した「大陸紙幣（Continentals）」でした。
植民地時代にはニューヨークも独自の紙幣を発行していましたが、「1776年8月13日付の10ドル紙幣」に該当する記録は確認されていません。独立後のアメリカでは、紙幣の発行は個々の州ではなく連邦政府、そして1913年以降は連邦準備制度（Federal Reserve System）が担うようになりました。
現代の10ドル紙幣との関係
現在流通している10ドル紙幣は連邦準備制度の下で発行され、初代財務長官アレクサンダー・ハミルトンの肖像が描かれています。ハミルトンはニューヨークゆかりの人物ですが、彼の時代にもニューヨーク州自体が10ドル紙幣を発行することはありませんでした。
手元にそのような紙幣がある場合
もし「1776年8月13日付・ニューヨーク州発行・10ドル」と記載された紙幣を目にしたり入手したりした場合は、次のような可能性が高いと考えられます。
- 記念品やレプリカ（複製）
- 映画やドラマ向けに作られた架空の紙幣
- 偽造品
いずれの場合も、法定通貨としての価値やコレクター市場での高額な評価は期待できません。ただし、精巧なレプリカには装飾的・教育的な価値がある場合もあります。
まとめ
「1776年8月13日にニューヨーク州が発行した10ドル紙幣」は歴史上存在せず、価値を査定することはできません。アメリカの古紙幣収集に関心がある方は、大陸紙幣や初期の国立銀行券など、実在が確認できるアイテムから調べることをおすすめします。