1800年代のオーストラリアに首相はいなかった
結論から言うと、1800年代にオーストラリアの首相は存在しませんでした。オーストラリアが独立国家として正式に発足したのは、1901年1月1日にオーストラリア連邦が成立してからのことです。
1901年以前のオーストラリアの統治体制
それ以前のオーストラリアはイギリスの植民地であり、オーストラリア人自身の首相ではなく、イギリス政府と各植民地の総督によって統治されていました。当時のオーストラリア大陸は、ニューサウスウェールズ、ビクトリア、クイーンズランド、南オーストラリア、西オーストラリア、タスマニアといった個別のイギリス植民地に分かれており、それぞれが独自の行政機構を持っていました。
初代オーストラリア首相はエドモンド・バートン
1901年の連邦成立後、初代オーストラリア首相に就任したのはサー・エドモンド・バートン(Sir Edmund Barton)です。彼は1901年から1903年まで首相を務め、オーストラリア建国の父の一人として知られています。
つまり、「1800年代のオーストラリアの首相」を探しても見つからないのは、その時代にはまだ首相という役職そのものが存在しなかったためです。オーストラリアの歴史における首相の起源は、あくまで20世紀に入ってからの出来事なのです。