地中海盆地のうち、ビザンツ帝国(東ローマ帝国)の恒久的な支配下に入らなかったのは、西地中海地域です。
西地中海と西ローマ帝国
西地中海一帯は、古代においては西ローマ帝国によって統治されていました。しかし西ローマ帝国は5世紀に滅亡し、その後この地域はゲルマン系諸王国などさまざまな勢力の手に渡りました。そのため、西地中海盆地はビザンツ帝国の中核的な領土とはならなかったのです。
なお、6世紀のユスティニアヌス1世の時代には、北アフリカやイタリアの一部が一時的に東ローマ帝国の支配下に置かれたこともありますが、これらの地域は長く維持されず、最終的には失われていきました。
東地中海とビザンツ帝国の繁栄
一方、ギリシャ、現在のトルコにあたるアナトリア半島、そして中東の一部を含む東地中海地域は、15世紀までビザンツ帝国の支配下にありました。首都コンスタンティノープル(現イスタンブール)を中心に、この地域は千年以上にわたって政治・経済・文化の中心として栄えました。
1453年、コンスタンティノープルがオスマン帝国に陥落したことでビザンツ帝国は滅亡し、東地中海におけるその支配も終わりを迎えます。
まとめ
つまり、西地中海盆地はビザンツ帝国の恒久的な領土にはならず、東地中海のみが長期にわたって同帝国の支配を受けていた、というのが答えです。