結論から言うと、米西戦争が先です。両者の時期を比較すると、その差は約50年にも及びます。
米西戦争(1898年)
米西戦争は1898年に勃発した、アメリカ合衆国とスペインの間の武力紛争です。キューバの独立運動をきっかけとして始まり、フィリピンやプエルトリコなどでの戦闘が展開されました。
この戦争の結果、スペインは海外植民地の大半を失い、アメリカはフィリピン、グアム、プエルトリコを獲得しました。これにより、アメリカは世界規模の列強国への道を歩み始めたとされています。
冷戦(1940年代後半〜1991年)
一方、冷戦は第二次世界大戦が終結した直後の1940年代後半に始まりました。これは、アメリカを中心とする資本主義陣営(西側)と、ソビエト連邦を中心とする共産主義陣営(東側)が、直接の軍事衝突を避けながら対立した国際的な緊張状態のことです。
冷戦は核兵器の開発競争や宇宙開発競争、代理戦争などを通じて約40年以上続きましたが、1991年のソ連崩壊によって終焉を迎えました。
まとめ
米西戦争は1898年、冷戦は1940年代後半に始まったため、米西戦争の方が約50年早く起こったということになります。米西戦争で国際的地位を高めたアメリカが、その後の二つの世界大戦を経て、冷戦期には超大国としてソ連と対峙することになったのです。