結論から言うと、ローマ帝国のほうが先に成立しています。ローマ帝国は紀元前27年に誕生したのに対し、オスマン帝国の成立は西暦1299年です。両者の間には実に約1,300年以上の開きがあります。
ローマ帝国の成立（紀元前27年）
ローマ帝国は、共和政ローマの政治家だったオクタウィアヌスが「アウグストゥス」の尊称を受け、初代皇帝として君臨した紀元前27年に始まります。ここから地中海を中心に広大な領土を支配する帝政時代が幕を開けました。
オスマン帝国の成立（1299年）
一方、オスマン帝国は1299年、アナトリア半島（現在のトルコ）でオスマン1世が建国した国家です。小さな部族国家から出発しながら勢力を拡大し、やがて三大陸にまたがる大帝国へと成長しました。
意外なつながり：東ローマ帝国との関係
西ローマ帝国は476年に滅亡しますが、東ローマ帝国（ビザンツ帝国）はその後も1000年近く存続しました。そして1453年、オスマン帝国のメフメト2世が東ローマ帝国の首都コンスタンティノープルを陥落させ、帝国の歴史に幕を下ろします。
つまり、ローマ帝国の後継とされる東ローマ帝国とオスマン帝国は、実際には約150年間共存していた時期があるのです。この歴史的な継承関係を知ると、二つの帝国の距離がぐっと身近に感じられます。