結論から言うと、1846年にアイルランドの大統領は存在しませんでした。この時期、アイルランドは独立した国家ではなく、グレートブリテン及びアイルランド連合王国の一部でした。
1801年から1922年までのアイルランド
1800年の合同法（Act of Union）により、アイルランド王国はグレートブリテン王国と統合され、グレートブリテン及びアイルランド連合王国が成立しました。そのため、1846年当時のアイルランドの元首は、イギリス君主であるヴィクトリア女王でした。
アイルランド大統領の誕生は1937年
現在知られているアイルランド大統領（Uachtarán na hÉireann）という職位は、1937年に制定されたアイルランド憲法によって初めて設けられました。つまり、大統領制が始まったのは1846年から実に90年以上後のことなのです。
1846年当時のアイルランド情勢
1846年は、アイルランドの歴史において非常に重要な転換点でした。この年からジャガイモ飢饉（大飢饉）が本格化し、人口の大幅な減少と大量の移民流出を招く悲劇的な時代が幕を開けます。政治面では、ダニエル・オコンネル（Daniel O'Connell）がアイルランド人の権利拡大を求める運動を展開しており、彼は当時のアイルランドを代表する指導者でした。
まとめ
1846年のアイルランドには大統領はおらず、同国はイギリス（グレートブリテン及びアイルランド連合王国）の統治下にありました。アイルランドが独自の大統領を擁するようになったのは、1937年の憲法制定以降のことです。