牛と馬はいつ再会できる？
牛と馬が同じ地点Pからそれぞれ異なる方向へ出発します。両者は円形の道を進み、やがて点Pへと戻ってきます。牛は円周48kmの道Aを1日8kmの速さで進み、馬は円周32kmの道Bを1日12kmの速さで進むとしたら、2頭が再び点Pで出会うのは何日後でしょう？
さあ、こんな文章を目にするだけでゾッとする読者は、ぜひ手を挙げてください。いわゆる「文系」の人間にとっては、筆者自身も含めて、学校で習った計算問題や算数の応用問題が今でも悪夢に現れるのは珍しいことではありません。とはいえ世の中には何でもありで、数字と戯れるのが楽しくてたまらない人々もいるのです。近年の「数独（スードク）」の爆発的な人気はその好例でしょう。計算盤のような形式のこのパズルは、暗算好きを虜にする一方で、それ以外の多くの人々を翻弄してやみません。厳密に言えば、数字パズルそのものは日本生まれではありませんが、その完成形を作り上げ、「数独」の名で世界に広めたのは日本人でした。
寺社の門前に掲げられた数学パズル
時代を遡れば、暇つぶしに数学の問題を解くこと自体は、決して新しい現象ではないことが分かります。日出ずる国・日本では、こうした遊びには長い伝統があり、その起源は侍たちが腰に刀を差して街を歩いていた時代にまで遡ります。18世紀半ば、日本各地の神社仏閣に参拝者が奉納した絵馬の中には、冒頭で紹介したような問題もよく見られました。
牛と馬が地点Pを出発した後、再び出会うのは何日後でしょうか？
この謎に挑戦する勇者はいますか？ 幾何学が苦手な方のために、答えは記事の最後に載せておきます。
これらの問題が寺の門前に掲げられていたのは、神仏の助けを借りなければ解けない難問だから――そう考えたくなりますが、実はそうではありません。これらの絵馬は単なる娯楽だったのです。同時に、飽くなき好奇心を持つ人々への挑戦状でもあり、誰かが解答を見つけてくれるのを待ち望んでいました。だからこそ、貴族も庶民も行き交う最も人が集まる場所、すなわち寺社の門前に掲げられたのです。
「算額」と呼ばれた数学の板
当時の日本人は、こうした算術パズルに名前をつけていました。それが「算額（さんがく）」、すなわち「数学の絵馬」です。この響きは、どこか現代の「数独」を彷彿とさせますね。算額には、問題文を視覚的に支える美しい図が描かれていました。伝統的な日本の幾何学は、芸術と数学の融合だったのです。それこそが算額の魅力の一つであり、頭の体操としての役割に加えて、装飾としての機能も果たしていました。残念ながら木製であるがゆえに、長い歳月を生き延びたものはごくわずかです。しかし、現存する算額は、この古の伝統がどのようなものだったのかを雄弁に物語っています。
当時の日本、すなわち徳川幕府の時代において、数学の発展は学界だけの専売特許ではありませんでした。学者も庶民も等しく、熱心に数学を学んでいたのです。算額は、そんな数学愛好家たちの手によるものでした。彼らは完全に匿名のまま、純粋な趣味として、神社の入り口に算額を奉納しました。その目的はただ一つ、通りかかった人が暇な時間に問題を解いて楽しんでくれること。それだけでした。
ピタゴラスの定理と匿名の挑戦状
算額の多くはピタゴラスの定理に基づいています。中世の日本人は、何世紀も前に中国からもたらされた知識を通じて、この定理を知っていました。ほとんどの算額は、この定理か二次方程式を使えば解くことができます。しかし興味深いことに、算額には解答こそ書かれているものの、そこに至る過程はほとんど記されていません。解法は自分で見つけ出すしかないのです。これは一種の知的チャレンジ、匿名の作者から、挑戦を受けようとするすべての人への挑戦状でした。
刀からそろばんへ
算額の作者の多くは武士階級の人々だったと考えられています。徳川幕府が統一された日本を治めるこの時代、戦うべき内乱はもうありません。そこで武士たちは、新時代に適応しなければなりませんでした。多くの武士は刀をそろばんに持ち替え、村の子どもたちに読み・書き・算数を教える寺子屋の師匠となったのです。
こうして、外部の世界から隔絶され、ヨーロッパの科学の進歩とも無縁のまま、日本人は独自に数学を発展させていきました。中国や西洋の賢人たちとは異なる道を歩みながら、驚くほど似通った結論へと到達していったのです。そして、学問の世界にアクセスできず、自分の発見を正式な論文として発表する余裕もない、質素な村の数学者たちは、算額という形で自らの業績を世に示したのでした。
1683年から1980年代まで続いた伝統
算額の流行がいつ始まったのかは正確には分かっていませんが、現存する最古の算額は1683年のものです。さらに17世紀初頭から、こうした絵馬が存在していたことを示す記録も残っています。19世紀末、徳川幕府の崩壊とともにこの伝統は勢いを失いましたが、何らかの形で今日近くまで受け継がれてきました。確認されている最も新しい算額は、1980年代のものです。
数独の源流
世界中の何百万もの数独ファンにとって、自分の好きな遊びが古い伝統の一部であると知るのは、きっと嬉しいことでしょう。日本人が何世紀にもわたって数学パズルを作り続けてきたことは、まぎれもない事実なのですから。もっとも、数字が苦手な私たちにとっては、算額は色付きの円で飾られた一種の「拷問装置」にしか見えませんが……。
冒頭の問題の解答
解答：D日後に牛と馬が再び点Pで出会うとします。牛は1日に8km進み、ある回数だけ周回するので、8D = 48M（Mは未知数）という式が成り立ちます。同様に馬の場合は 12D = 32N（Nも未知数）。両式から M/N = 4/9 が得られますが、未知数の最小値を求めるので、M = 4、N = 9 と置けます。したがって D = 24日。あっけないほど簡単ですね？
寄稿：Samurai Stories の R. イバルサバル 氏
出典：『Sacred Mathematics』（Fukagawa Hidetoshi & Tony Rothman）、Sangakus