ホルスの目の伝説と分数の起源
古代エジプトの伝説によれば、神セトは神ホルスの左目を引きちぎり、バラバラにしてしまいました。しかし、知恵と魔法の神トートは自らの魔力によって左目を再び組み立て、さらに魔法を用いて目の断片を一つ盗み出しました。それでもなお、その欠落があるにもかかわらず、目の完全性は損なわれないとされたのです。
この伝説、あるいは神話は、多くの人々によって「エジプト算術の原点」、ひいては無限小計算の萌芽とみなされています。実際、ホルスの目(後に太陽神ラーの目とも同一視される)の各部分は分数を表すために用いられ、それらをすべて合わせると「1」、すなわち全体を表したのです。ただしそれは近似値としての1であり、神トートの魔法によって消失した断片が存在するためでした。
63/64という「不完全な1」
目を全体として見ると、それは数列 1/2n の最初の6項の和を表しています。現代数学でこの和を計算すると、10進数で 0.984375、すなわち 63/64 に相当します。ところがエジプト数学においては、これらの要素の総和は「1」として扱われました。正確には63/64という部分的な「統一体」でしたが、トートの魔法のおかげで整数としての性質を帯び、64/64、つまり完全な1へと変じたのです。要するに、トートの魔法が欠けていた1/64を補ったわけです。
無限に続く数列と収束の概念
今日私たちが知っているように、最初の6項という制約を取り払い、整数を半分にしていく操作を無限に続ければ、その和は1へと限りなく近づきますが、決して1には達しません。これは ∑ 1/2n(n が 1 から ∞ まで)という形で表される級数です。各項、すなわち (1/2) + (1/4) + (1/8) + (1/16) + (1/32) + (1/64) + … を足し合わせた結果は、1の周辺に収束します。数学における収束とは、ある関数や数列が有限の極限値を持つ性質、あるいは変数や添字が特定の値や無限大へ近づくとき、その結果がある一点へ近づいていくことを指します。
エジプト人が持っていた精度感覚
エジプト人にとって (1/2)+(1/4)+(1/8)+(1/16)+(1/32)+(1/64) は厳密には1ではありませんでしたが、1との差である 0.015625(=1/64)は極めて小さな数だったため、無視はできないものの切り捨てることが許容されていました。この事実は、当時のエジプト人が有していた数値精度の水準を雄弁に物語ります。その精度は少なくとも63/64まで及んでおり、残った1/64――小数点以下6桁を要する値――は「無視できる」ものとみなされていました。当時の観測手段の精度では、その差が可視的な影響をもたらすことはなかったからです。しかし、より精密な観測装置が必要となったり特別な用途が生じたりすれば、分数化をさらに進め、より高い精度へ到達することも十分に可能でした。
あえて数学的な言葉を使うなら、ホルスの目の観測可能な部分はある「全体」の一部であり、欠けた部分を見出すには、トートの魔法が定める、人間の目には見えない「より広い集合」へと探索を広げねばならない、と言えるでしょう。この種の推論を現代数学にそのまま適用すれば、危険なパラドックスに陥る恐れは決して小さくありません。しかしエジプト人は精度の水準を抑えながら、その隙間を「トートの魔法」で埋めることで、そうしたパラドックスの回避に成功していたのです。
この考察は、エジプト人が誤差1/64未満という、はるかに精密な計算を実行できたことを示唆しています。仮にホルスの目における最小の値が1/64であったとしても、それが自動的に「エジプト人が知る最小の数値」を意味するわけではありません。むしろ、1/64という値に至ったのと同じ論理的手続きを適用すれば、理論上は無限の先まで進むことができたはずです。順を追って見ていきましょう。
ネビプセソストリの石碑と「ホルスの涙」
ホルスの目は、エジプトの考古学遺物にきわめて頻繁に登場する意匠であり、数学的価値にとどまらず、何よりも宗教的な価値を備えたシンボルです。そしてまさにこのホルスの目の神話の中に、さらなる数学的要素を見出すことができます。
ご存じの通り、エジプト神話ではセトがホルスの左目を破壊し、その後トートの魔法によって修復されました。神話が「左目」であると明記しているのに右目については何も語られておらず、またホルスが片目の神だったと伝える神話が一切存在しないという事実は、どこかに必ず「ホルスの右目」も存在したはずであることを示唆しています。実際、右目を描いた遺物は数多く発見されています。なかでも数学研究者たちの注目を集めたのが、アメンエムハト3世の治世にさかのぼるネビプセソストリの石碑です。その中央の柱には、なんとホルスの両目が描かれているのです。
数学的に本当に興味深いのは、両眼そのものではなく、二つの目の組み合わせ、とりわけその間に置かれた要素です。目の下方には「ホルスの涙」と通称される三つの平行なシンボルが配置され、ちょうど1/64の値を示す鏡像関係のシンボルの間に据えられています。
ここで、三つのシンボルのうち中央のものに1/64、外側の二つにそれぞれ1/128の値を割り当てて合計すると、2/64、すなわち片方の目につき1/64が得られます。これはまさに、両目が数学的な統一体化に達するために欠けていた値です。したがって、これらのシンボルは「トートの魔法」が指し示す外部の集合の表現であると読み解くことができます。
解釈をめぐる論理的難点
しかしこの数学的解釈は、興味深く魅力的である一方で、深刻な論理的欠陥を抱えています。それは、三つの同一のシンボルに異なる値を割り当てた点です。この操作はあまりに人工的で強引に映ります。むしろ「ホルスの涙」とされた三つのシンボルは同一の値を持ち、その分割によって等しい値の三つの要素が生じたと考えるのが自然でしょう。この観察に立脚すれば、涙全体の価値は3/128であり、分離されれば一つひとつの涙は1/128の値を持ったことになります。
しかしこう考えると新たな問題が浮上します。つまり、あのホルスの目の問題が再び姿を現すのです。1/128の値を持つシンボルを、右側のものは右目へ、左側のものは左目へと割り当てても、統一体には到達できません。結局、単眼の価値は127/128となり、それぞれの目には1/128が欠けたまま残ります。象形文字(ヒエログリフ)には確かにもう一つの1/128のシンボルが存在しますが、両目を完成させるには2/128が必要です。したがって、片方の目――おそらく右目――については単位を完成させられる一方、もう片方の左目はトートの魔法のみによって保持され続けることになります。
とはいえ、一見すると数学的な抜け道があります。最後の涙を二分割し、それぞれ1/256の値を持つ二つの部分をつくり、一方を右目に、他方を左目に加えるのです。しかしこれでも問題は根本的には解決しません。単眼の全要素の総和は255/256となり、両目は再び断片を欠くことになるからです。もっとも、その欠けは前よりも格段に小さなものですが。この状況、すなわち第三の涙の存在は、整数を無限に半分にできる可能性を示唆すると同時に、7回以上の半分化は「無駄」であるため切り捨て可能だということも物語っています。1/128こそが全体の第7番目の分数であり、これは 1/27 としても表せるのです。
ゼノンのパラドックスと西洋数学への影響
ホルスの涙の存在は、エジプト人が想像以上に高度な無限小数学の知識を備えていたことを、改めて示唆しています。この概念はその後発展を遂げ、今日まで受け継がれてきました。ここで、いわゆる西洋世界におけるこの種の数学の、おそらく最も有名な例に触れておくのが妥当でしょう。
エジプトの数学がどこまで到達していたのかは正確にはわかりません。しかし、ホルスの目は、彼らが極めて微小な数値を認識していたこと、すなわち極めて複雑で精密な計算が可能だったことを物語っています。不幸なことに、彼らの無限小数学の知識が西洋世界(特にギリシャ・ローマ世界)「高等数学」の基礎の一端を築いたとしても、少なくとも「無限小計算」に関する起源は紀元前5世紀のギリシャにしか遡れないとされています。そこで哲学者エレアのゼノンは、運動は幻覚だと主張した師パルメニデスの説を擁護するため、有名な「アキレウスと亀のパラドックス」、いわゆるゼノンのパラドックスを考案しました。その内容は、アキレウスが亀を追いかけても決して追いつけないというものです。
ゼノンのパラドックスの数学的説明は次のようなものです。アキレウスが亀に追いつくために走破すべき区間は無限に存在し、そのたびに区間はどんどん小さくなっていきますが、それらの和の極限は等比数列の性質により収束します。ゼノンが着目したのは、無限個の要素の和、あるいは無限和の極限が必ずしも無限大になるとは限らないという点です。この理論の具体的な例が、整数を逐次半分にして得られる分数の和(ホルスの目の数列を延長した場合と同様)であり、∑1/2n がそれに当たります。
現実にはアキレウスはもちろん亀に追いつけますが、数学的な観点からは永遠に追いつけないことになります。関数がこのような状態にあるとき、それは特定の値――この場合は1――に漸近している、すなわち1に限りなく近づくが決して到達しない、と表現されます。この水準の数学的知識を保有するということは、無限小、すなわちゼロに近づくが決してゼロにはならない数値という概念の理解を内包するのです。